会社のパソコンは、あくまで業務遂行のために会社から貸与されたものなので、使用者の指揮監督のもと、誠実に業務する義務があります。
従って、従業員が上記行為をなした場合には、就業規則にのっとり、懲戒処分が行えます（最初は口頭注意などからはじめ、処分を徐々に重くしていくことになります）。

勤務時間外でも、会社は、貸与したパソコンの施設管理権を有していますので、会社が私事利用を認めないのであれば、懲戒処分を行うことができます。
また、ゲームと異なり私用メールであれば、会社の費用を犠牲にして私利を図っているとも評価でき（通信環境によりますが）、ゲームより悪質とも評価できる余地もあります。

東京地裁平成13年12月3日判決（労判826号76頁）は、監視の目的、手段、態様、監視される側の不利益を総合考量して、社会上相当の範囲を逸脱した監視がされない限り、プライバシーの侵害とならないと判断したうえで、結論として私用メールの監視を適法としました。
会社は、プライベートな場ではなく、仕事をする場である以上、相当な範囲での監視であれば、プライバシー侵害の問題は生じないといえます。勿論、就業規則に一言程度でも監視する旨の断りを入れた方がより良いでしょう。